根据表2,推断资源K的影子价格为,资源L的影子价格为。
但是,如果我们对资源K、L的数量同时进行调整的长期生产问题,上述计算方法难以确定资源影子价格,需要引进新的定义方式与计算方法。
二、影子价格的长期划分与计算
本文拟借助Aucamp与Steinberge 等的研究成果,从生产最优值函数的极点解进行分析,通过Akgulm的方向导数进而确定长期多资源变化的影子价格。
Akgulm定义了函数Z*(b1,…,bm)在资源组合点B处沿方向u=(u1,u2,…,um)T∈Rm的导数:
Duz*(b)=limt→0+ (6)
为资源组合u的影子价格。利用凸分析的一个结论,有Duz*(b)=min{uTy|y∈z*(b)}(7),通过(7)式我们可以求得多种资源变化时的影子价格,我们称之为资源的组合影子价格。
三、长期资源调整的计算示例
对于例题,原规划问题的对偶可行域的极点有三个,分别为(0,3)(,)(2,0),于是在短期生产范围内,给定b1=600不变,仅b2发生变化,即此时资源组合点B沿单位方向(0,1)方向发生变化:
=minb1,b23b2,b1+b2,2b1=0,3b1≤b2,b1≤b2≤3b13,0≤b2≤b1
(7)
在长期范围内,多种资源甚至所有资源投入都可进行调整,资源可以就任何方向进行调整。比如,假设当前要素组合沿单位方向=,进行调整,由于最优对偶解单一,此时资源组合的影子价格如下:
Dz*(b1,b2)=,1 800≤b1(a),300≤b2<1 800(b),0≤b2<300(c)(8)
结论
实际生产总表现出某种时期特性,不同时期特性下的影子价格定义方式、估计方法不尽相同。如果单纯考察给定要素变动对收益的影响,采用收益函数对该要素的右向偏导数即可。如果给定时间范围内涉及到至少两种以上生产要素的调整,则需采用方向导数方能测度投入要素对收益函数的影响,唯有如此才能根据影子价格合理指导资源配置。
参考文献:
[1]刘舒燕.关于资源影子价格不唯一性问题的讨论[J].运筹与管理,2001,(2):33-36.
[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J],Vol.33,No.6,1982:557-565.
[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J],Vol.35,No.5,1984:425-431.
[4]周永华,陈新,刘建斌,郑芳英.影子价格及其经济意义[J].浙江理工大学学报,2006,(3):145-150.