变分法中的EulerLagrange方程

jz066520 · 发表于 2014-6-1 13:20:43

   作者：徐清华李文潮吴克坚赵东涛赵清波

【摘要】  能量泛函伴随的EulerLagrange方程在正则性研究中有很重要的价值，在医学数学模型上有广泛的应用前景。主要探讨由极小化思想推导出的EulerLagrange方程的方法，并给出几个实例以供参考。

【关键词】  变分法; EulerLagrange方程; 能量泛函

　　1 引言

　　古典的变分理论主要是研究泛函的极值和极值点，在19世纪之前，求极值点的问题总是被转化为求解相应的EulerLagrange方程，对于很多问题，特别是高维问题，求解EulerLagrange方程并不是一件很容易的工作。另一方面，从经典力学等问题的研究中，人们往往可以得出下面的结论：自然界的众多效应遵从一条极小或极大的规律，用数学的术语来说，就是相应的泛函的极值点是存在的，这一规律就为用变分法来求解EulerLagrange方程的可行性提供了依据。

　　2 EulerLagrange方程的推导

　　设Ω 是欧式空间in 中的有界开区域，其边界为Ω 。我们给定一个光滑函数

　　L: in×i×Ωn→L

　　我们把它称为Lagrangian函数。

　　记 L=L(p,z,x)=L(p1,…,pn,z,x1,…,xn)

　　其中p∈in ,z∈i ，x∈Ω ，这里我们用p 代替变量Du(x) 的名字，用z 代替变量u(x) 的名字，同时我们令

　　DpL=(Lp1,…,Lpn)，

　　DzL=Lz,

　　DxL=(Lx1,…,Lxn)

　　这样的记法将简化下面的证明。

　　设能量泛函I[·] 具有下面的形式：

　　I[w]=∫ΩL(Dw(x),w(x),x)dx(1)

　　其中光滑函数w:Ω→i 满足边界条件w=g, x∈Ω 。

　　现在，如果假设有某个光滑的函数u 也满足上述边界条件u=g 在Ω 上,并且在所有满足边界条件w=g,x∈Ω 的函数中，它恰好是能量泛函I[·] 的极小值，所以我们断言：如果u 是I[·] 的极小值，则u 一定是某种非线性偏微分方程的解。

　　下面证明这一言论，首先任意选取光滑函数v∈C∞c(Ω) ,考虑实值函数

　　i(t)=I[u+tv] t∈i

　　由于u 是I[·] 的极小值，u+tv=u=g 在Ω 上，所以i(·) 在t=0 处取得极小。则有

　　i′(0)=0(2)

　　下面计算这个导数(也叫一阶变分)，因为

　　i(t)=∫ΩL(Du+tDv,u+tv,x)dx

　　所以有

　　i′(t)=∫Ωni=1Lpi(Du+tDv,u+tv,x)vxi+Lz(Du+tDv,u+tv,x)vdx

　　取t=0 ,则从(2)式我们可以得到

　　0=i′(0)=∫Ωni=1Lpi(Du,u,x)vxi+Lz(Du,u,x)vdx

　　最后由于v 具有紧支集，由分布积分得

　　0=∫Ω[-ni=1Lpi(Du,u,x)xi+Lz(Du,u,x)]vdx

　　上式对任意的函数v 都成立，所以我们说u 是下列非线性偏微分方程的解：

　　-ni=1(Lpi(Du,u,x))xi+Lz(Du,u,x)=0, x∈Ω(3)

　　我们可以观察到上式是一个二阶拟线性散度型偏微分方程，我们称其为由(1)式所定义的能量泛函I[·] 伴随的的EulerLagrange方程。3 实例

　　例1 (Dirichlet 原理) 设

　　L(p,z,x)=12|p|2

　　则有Lpi=pi ，(i=1,2,…,n) ，Lz=0 ，所以伴随能量泛函

　　I[w]=12∫Ω|Dw|2dx

　　的EulerLagrange方程为Δu=0, x∈Ω 。

　　例2 (一般的Dirichlet原理) 设

　　L(p,z,x)=12 ni,j=1aij(x)pipj-zf(x)

　　收稿日期：20090830 通讯作者：吴绪峰

　　作者简介：夏娜(1976)，现工作单位：武汉科技大学附属医院妇产科。研究方向：妇科疾病。

　　其中aij=aji(i,j=1,2,…,n) ,则有

　　Lpi=nj=1aij(x)pj,(i=1,2,…,n), Lz=-f(x)

　　因此伴随能量泛函

　　I[w]=∫Ω12ni,j=1aijwxiwxj-wfdx

　　的EulerLagrange 方程为散度形式的线性方程-ni,j=1(aijuxj)xi=f, x∈Ω 。

　　例3 设有光滑函数f:→ ，并且定义其原函数为F(z)=〖JF(Z〗z0f(y)dy〖JF)〗 . 则L(p,z,x)=12|p|2-F(w)dx ,且有Lpi-pi ,Lz=-F′(z)=-f(z) , 所以伴随能量泛函

　　I[w]=∫Ω12|Dw|2-F(w)dx

　　的EulerLagrange方程为非线性的Poisson方程-Δu=f(u), x∈Ω 。

【参考文献】
  　　1 老大中. 变分法基础. 北京：国防工业出版社, 2003.

　　2 沈尧天，严树森.拟线性椭圆型方程的变分方法. 广州：华南理工大学出版社，1999.

　　3 陆文端.微分方程中的变分方法. 北京：科学出版社，2003.

　　4 Evans LC.Partial Differential Equations. American Mathematical Society，1998.

　　5 李开泰，马逸尘.数理方程Hilbert空间方法. 西安：西安交通大学出版社，1990.

　　6 陈文塬.非线性泛函分析. 兰州：甘肃人民出版社，1982.

　　7 伍卓群，尹景学.椭圆与抛物型方程引论. 北京：科学出版社，2003.

　　8 Gilbarg D, Trudinger NS.Elliptic Partial Differential Equations of second order. New York: SpringerVerlag，1997.

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