一个肿瘤化疗模型的几种求解方法

jz066520 · 发表于 2014-6-2 10:32:29

【摘要】  分别利用 Bernoulli 方程， Riccati 方程求解方法和 Mathematica 软件，讨论一个肿瘤化疗模型的通解。

【关键词】  肿瘤化疗模型; 分离变量法; Bernoulli 方程; Riccati 方程; Mathematica 软件

在文献[1]第5章第6节中，作者以自然生长模型为基础，建立了一个简单的肿瘤化疗模型：

　　x′x=(r-kx)-smx(1)

　　研究药物剂量对肿瘤生长的影响，其中 x 是时间 t 的的函数，表示肿瘤的大小，m ,r,k,s 均为正常数， m 是药物剂量， r 是肿瘤细胞的活力常数， k 与肿瘤细胞的生长环境即患者的免疫力有关， s 则与药物的功效有关。

　　文献[1]用分离变量法求解方程 (1), 得到方程( 1 )的通解 : 当药物剂量mr24ks时，x(t)=l+ωtan(ω(c-kt))。其中λ1=r-r2-4ksm2k,λ2=r+r2-4ksm2k,λ=r2k,l=r2k,ω=smk-(r2k)2

　　如无特殊声明，本研究λ1、λ2、λ3、l、ω 都特指上面的数值。 c、C1、C2 表示积分常数。

　　由方程的通解，文献[1] 推断出：若用小剂量mr24ks化疗中消除病灶。因此这个模型在药理学、病理学的研究及模拟治疗实验中都是极其有价值的。

　　本研究分别利用 Bernoulli 方程， Riccati 方程求解方法和 Mathematica 软件，讨论这个肿瘤化疗模型的通解，给出方程( 1 )除了分离变量法以外的的几种新的求解方法，供教师在教学过程中参考，让同学们拓展思维，综合应用已经学过的知识，并学习求解微分方程的新知识。

　　2 方程( 1 )的几种新的求解方法

　　文献[2] 中介绍了 Bernoulli 方程求解方法。 Riccati 方程求解方法可参考文献[3，4] 。利用Mathematica软件，可以在计算机上求解微分方程[5]。下面利用这三种方法计论主程(1)的通解。

　　2.1 化为Bernoulli方程求解

　　把方程(1)变形为x′=-kx2+rx-sm，作变换y=x-a，代入方程得到y′=-ky2-(2ka-r)y-ka2+ra-sm

　　令二述方程的常数项为零，有

　　-ka2+ra-sm=0

　　若m

　　y′=-ky2+r2-4ksm

　　解得

　　1y=cke-r2-4ksmt+kr2-4ksm

　　从而方程(1)的通解

　　x=λ1+r2-4ksmk+cke-r2-4ksmt

　　=λ1+r2-4ksmk 11+cer2-4ksmt

　　因为λ2=r+r2-4ksm2k,所以r2-4ksmk=λ2-λ1，故上式就是文献[1]中解

　　x=λ1+λ2-λ11-ce-k(λ2-λ1)t

　　类似地，若m=r24ks，由变换y=x-λ可以把方程(1)化为y′=-ky2,解得1y=kt+c，从而得到方程(1)的通解x=λ+1c+kt,与文献[1]结论一致。

　　2.2 利用Riccati方程求解法求解

　　形如dxdt=a(t)x2+b(t)x+c(t)的方程，其中a(t)≠0,c(t)≠0,称为黎卡提(Riccati)方程。它的解法是通过变化x(t)=ω′(t)a(t)ω(t)，化为二阶线性方程

　　ω″(t)-a′(x)a(x)+b(x)ω′(t)+a(t)c(t)ω(t)=0

　　把方程(1)变形为x′=-kx2+rx-sm，具有Riccati方程的形式，再作变换

　　x(t)=ω′(t)kω(t)(2)

　　把它化为二阶常系数线性齐次方程

　　ω″(t)-rω′(t)+ksmω(t)=0(3)

　　若m

　　μ1=r-r2-4ksm2=λ1k, μ2=r+r2-4ksm2k=λ2k

　　(3)的通解为

　　ω(t)=C1eλ1kt+C2eλ2kt

　　代入变换(2)作适当变形，得到方程(1)的通解

　　x(t)=1k C1λ1keλ1kt+C2λ2keλ2ktC1eλ1kt+C2eλ2kt=λ1+(λ2-λ1)1+ce-k(λ2-λ1)t

　　其中c=C1 / C2　　m=r24ks，则方程(3)有两个相等的实特征根μ=r2=kλ其通解为

　　ω(t)=(C1+C2t)ekλt

　　代入变换(2)作适当变形，得到方程(4)的通解

　　x(t)=1k C1kλekλt+C2tkλekλt+C2ekλtC1ekλt+C2tekλt=λ+1c+kt

　　其中c=k C1 / C2

　　若m>r24ks，则方程(3)有一对共轭复根

　　μ1，2=r±i -r2+4ksm2=lk±ωki ,

　　其通解为

　　ω(t)=elkt(C1cos(ωkx)+C2sin(ωkx))

　　代入变换(2)作适当变形，得到方程(1)的通解

　　x(t)=elktk ((lkC1+ωkC2)cos(ωkt)+(lkC2-ωkC1)sin(ωkt))elkt(C1cos(ωkt)+C2sin(ωkt))=l+ωtan(ω(c-kt))

　　其中c=1ωarctanC2C1

　　2.3 利用Mathematica软件计算

　　利用Mathematica软件，可以在计算机上直接求解微分方程[5]。

　　当m

　　x′=-k(x-λ1)(x-λ2)，运行命令

　　ln[1]: =Dsolve[x′[t]=-kx[t]^ 2+k(λ1+λ2)x[t]-kλ1λ2,x[t],t]

　　输出结果

　　Out[1]: ={{x[t]→-ektλ1+c(1)λ2λ1+ec(1)λ1+ktλ2λ2ec(1)λ1+ktλ2-ektλ1+c(1)λ2}}

　　即方程(1)有通解

　　x(t)=-λ1ektλ1+c1λ2+λ2ektλ2+C1λ1ektλ2+C1λ1-ektλ1+Cλ2=λ1+λ2+λ11-ce-k(λ2-λ1)t

　　其中c=eC1(λ2-λ1)

　　当m=r24ks时，把方程(1)写成

　　x′x=(r-kx)-sr24ks，运行命令

　　ln[2]: =Dsolve[x′[t]/ x[t]=r-kx[t]-sr^ 2/ (4ksx[t]),x[t],t]

　　输出结果

　　Out[2]: ={{x[t]→2+rt-4krc(1)2kt-8k2c(1)}}

　　即方程(1)有通解

　　x(t)=2+rt-4krC12kt-8k2C1=r(t-4kC1)+22k(t-4kC1)=λ+1c+kt,

　　其中c=-ktC1

　　当m>r24ks时，输入命令

　　ln[3]: =Dsolve[x′[t]/ x[t]-r+kx[t]+sm/x[t]=0,x[t],t]

　　运行后得到结果

　　Out[3]: ={{x[t]→12k(r+-r2+4ksm

　　Tan (12(--r2+4ksmt+-r2+4ksmC(1)))}}

　　即方程(1)有解

　　x(t)=r2k+12k-r2+4ksm tan

　　(-r2+4ksm·(t+C1)2)=l+ωtan(ω(c-kt))

　　其中l=r2k, ω=smk-(r2k)2, c=kC1

　　又如，当m=1,r=4,k=1,s=2,求方程(1)满足初始条件x(0)=2的特解，只要输入命令

　　ln[4]: =Dsolve[{y′[x]=-y[x]2+4y[x]-2,y[0]=2},y[x],x]

　　运行后得到结论

　　Out[4]: ={{y[t]→2+2Tanh[2x]}}

　　故所求特解为

　　x(t)=2+2tanh (2t)

　　其中tanh (2t)=e2t-e-2te2t+e-2t称为双曲正切函数[6]。

【参考文献】
  　　1 张选群，医用高等数学.第2版. 北京：高等教育出版社， 2009，6.

　　2 乐经良，祝国强.医用高等数学.第2版. 北京：高等教育出版社， 2008，6.

　　3 数学手册编写组，数学手册 .北京 : 人民教育出版社， 1979.

　　4 ( 德 ) E. 卡姆克 , 常微分方程手册.北京：科学出版社， 1977.

　　5 沈风贤等， Matematica手册用IBMPC机处理数学问题通用软件包.北京：海洋出版社，1992，2.

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