椭圆环刚体转动惯量求解的再研究

jz066520 · 发表于 2014-6-2 10:49:20

【摘要】  运用转动惯量定义式直接计算出椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转动惯量。

【关键词】  椭圆环; 转动惯量; 椭圆积分

　　文献[1]对椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴旋转的转动惯量进行了求解,是利用正交(垂直)轴定理来进行,其实是间接求解,本研究给出直接用转动惯量定义式求解,进一步研究此问题。

　　1 椭圆环绕中心轴的转动惯量

　　质量为m均匀分布的椭圆环刚体如图1，线质量密度为λ,现建立直角坐标系Oxyz,Oz轴垂直于椭圆环面指向外,由文献[2]知，其椭圆参数方程为：

　　x=acosθ

　　y=bsinθ

　　令θ=π/2-φ ，代入上式有

　　x=asinθ

　　y=bcosθ(1)

　　a为长半轴,b为短半轴,那么

　　dx=acosφdφ

　　dy=-bsinφdφ

　　r2=OP2=a2sin2φ+b2+cos2φ

　　图1

　　由于对称性,椭圆周长为：

　　L=dL=(dx)2+(dy)2

　　=4∫π/20a2cos2φ+b2sin2φdφ

　　=4a∫π/201-k2sin2φdφ=4aE(k)

　　式中k=a2-b2/ a 为椭圆偏心率，

　　E(k)=∫π/201-k2sin2φdφ(2)

　　为第二类全椭圆积分，则椭圆环质量线密度

　　λ=dm/dL=m/L=m/4aE(k)(3)

　　由转动惯量定义式[3]和如图1中P处质量元知,椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴即Oz轴的转动惯量

　　Iz=r2dm

　　=(a2sin2φ+b2cos2)λdL=4λa

　　(a2sin2φ+b2cos2)1-k2sin2φdφ=4λa[∫π/20 a2(1-cos2φ)1-k2sin2φdφ+∫π/20 b2cos2φ1-k2sin2φdφ]

　　=4λa{a2[∫π/201-k2sin2φdφ-∫π/20cos2φ1-k2sin2φdφ]+b2∫π/20 cos2φ1-k2sin2φdφ}

　　=4λa{a2[E(k)-∫π/20 1-sin2φ 1-k2sin2φd(sinφ)]+b2 ∫π/20 1-sin2φ 1-k2sin2φd(sinφ)}

　　=4λa{a2[E(k)-∫101-u2 1-k2u2du]+b2∫101-u2 1-k2u2du}(4)　式(4)中令sinφ=u 代入积分项,该项写为

　　∫101-u2 1-k2u2du=∫10(1-u2)1-k2u2 1-u2du

　　=∫101-k2u2 1-u2du-∫10u21-k2u2 1-u2du

　　=∫π/201-k2sin2φdφ+∫10 u1-k2u2d( 1-u2)

　　=E(K)+[u1-k2u2· 1-u2]10-∫10[1-u2(1-k2u2-k2u21-k2u2)]du (5)

　　式(5)中第一项积分式为第二类全椭圆积分,整理中用了分部积分法,则上式可写为

　　∫101-u2 1-k2u2du=E(k)-∫101-u2 1-k2 u2du-∫101-u21-k2u2-11-k2u2du

　　=E(k)-2∫101-u21-k2u2du+∫101-u2 1-k2u2du

　　=E(k)-2∫101-u21-k2u2du+∫10(1+u2)1-u21-k2u2du

　　=E(k)-2∫101-u2 1-k2u2du+∫1011-u2 1-k2u2du+∫101-k2u-1 k21-u21-k2u2du

　　=E(K)-2∫101-u21-k2u2du+F(k)+1k2[∫101-k2u2 1-u2du-∫1011-u21-k2u2du]

　　=E(k)-2∫101-u21-k2u2du+F(k)+1k2E(k)-1k2F(k) (6)

　　式(6)中

　　F(k)=∫1011-u21-k2u2du=∫π/20dφ1-k2sin2φ

　　为第一类全椭圆积分,式(6)整理可写为:

　　∫101-u21-k2u2du=13k2[(k2+1)E(k)+(k2-1)F(k)] (7)

　　把式(7)代入式(4)积分项中,得出椭圆环绕中心轴的转动惯量为

　　Iz=4λa{a2[E(k)-13k2(k2+1)E(k)-(k2-1)F(k)]+b23K2·[(k2+1)E(k)+(k2-1)F(k)]

　　=ma23k2[(2k2-1)-(k2-1)F(k)E(k)]+mb23k2[(k2+1)+(k2-1)F(k)E(k)] (8)

　　2 结论

　　椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转动惯量为式(8)。由平行轴定理可计算出椭圆环刚体绕与Oz轴平行且距离为d处的轴转动惯量来[3]。

【参考文献】
  　1 郑民伟.椭圆环刚体转动惯量的求解.数理医药学杂志,2009,22(6):735～736.

　　2 中国矿业学院数学教研室编,数学手册第2版,北京:科学出版社,1980，55;123.

　　3 孙厚谦.大学物理学(上册).北京:清华大学出版社,2009,33～34.

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[临床医学] 椭圆环刚体转动惯量求解的再研究