医院就诊服务系统排队模型分析

jz066520 · 发表于 2014-6-2 16:57:17

【摘要】  构建了医院就诊服务系统排队模型，并主要分析了两级串联开排队服务系统模型，其中采用递推方式给出了马尔可夫过程的转移矩阵，并利用矩阵分析方法进行求解，得到了该系统的稳态概率解及其它相关指标。

【关键词】  串联排队; 稳态解; 转移密度矩阵

　　医院是一个由许多科室部门组成的复杂的系统，病人就医必须经历挂号、就诊、划价和取药每一个机构，由于每个部门科室坐诊的医生是有限的，当病人达到一定数量时，就会出现排队就医现象，就诊病人的数量和每个病人就诊的时间都是随机的，当诊室不多，而患者过多时，就会出现病人等待时间较长，医生太忙太累，影响诊断效果以及病人的情绪，降低了病人对医院的满意度，对医院造成了不良的影响。

　　排队论是研究服务系统中排队现象随机规律的学科，专门研究由于随机因素影响而产生拥挤现象的科学，它是运筹学的一个重要分支，主要研究由于顾客的到达和离开以及服务台的工作和休假，而引起的队伍的积累和消散问题。

　　医院的就诊系统如下:

　　如果把前来就诊的病人看作是“顾客”，把每一个科室看作是“服务台”，就可以为医院就诊系统构建一个串并联混合的排队模型，即：

　　而针对同一类病的病人或同一类病的科室，又可以构建一个两级串联的子排队系统，即：

　　因而，由于科室之间的独立性，对于医院就诊整个串并联混合系统就可以分解为一些两级的串联系统。本研究就以这两级串联系统为研究对象。

　　1 系统模型

　　以天为时间单位，给出就诊服务系统模型

　　① 系统由两个服务台串联而成，两个服务台的容量都为k ，0

　　② 顾客按possion 流到达，均值为λ0 ，由第一级服务台进入系统，以医院的挂号制度为约束条件，当第一级服务台容量k 满时，即挂号窗口关闭后，外来顾客离开此系统(如，进入急诊等其它系统等)，不再返回。

　　③ 顾客在系统中从第一级服务台开始，依次接受服务，服务完后从第二级服务台离开。

　　④ 第一、二级服务台的服务时间独立同分布，服务时间的分布假定服从负指数分布，均值为λi ，λi>0, i=1,2 。

　　⑤ 以医院的挂号制度为约束条件，在正常挂号时间内，第二级服务台容量为k ，当第二级的队长小于k ，第一级服务台处于可工作状态，一旦当第一级服务完的顾客进入第二级服务台，使它的队长达到k ，(即正常挂号结束时间到了)，第一级服务台立即停止工作(如有病人必须进入急诊等。)

　　⑥ 所有顾客到达的时间间隔，彼此相互独立。

　　2 状态描述

　　设Li(t) 表示时刻t 系统中第i 级服务台的队长(包括正在接受服务台服务的顾客)，i=1,2 。则由它们所构成的随机过程{L2(t),L1(t)} 是一个维的Markov 随机过程，各状态按字典序排列，为便于应用分析，给出状态空间的递推表达形式如下：

　　E1={ (0),(1),(2),…,(k)},

　　E2=

　　(0,0)(0,1)(0,2)………(0,k)

　　(1,0)(1,1)(1,2)……(1,k-1)

　　(2,0)(2,1)(2,2)…(2,k-2)

　　︙︙

　　(k-1,0)(k-1,1)

　　(k,0)

　　定理1 对于两级服务台的串联服务系统，其2维马尔可夫过程的状态转移密度矩阵为

　　Q2=

　　H00H01

　　H10H11H12

　　H20H22H23

　　

　　H(k-1)(k-2)H(k-1)(k-1)H(k-1)k

　　Hk(k-1)Hkk

　　其中

　　H00=

　　-λ0λ0

　　-(λ0+λ1)λ0

　　-(λ0+λ1)λ0

　　

　　-(λ0+λ1)λ0

　　-λ1

　　若记

　　H01=P010

　　λ10

　　λ10

　　

　　0

　　λ10

　　λ1(k+1-0)×(k-0)

　　则

　　H12=P11, H23=P21,…,H(i-1)×i=Pi-11, (i=1,2,…,k)。　　其中

　　H(i-1)×i=Pi-11

　　=0

　　λ10

　　λ10

　　

　　0

　　λ10

　　λ1(k+1-(i-1))×(k-(i-1))

　　当i=k时，即

　　H(k-1)×k=0

　　λ1

　　若记

　　H10=P02=λ2(E,0)(k-0)×(k+1-0)

　　则

　　H21=P12, H32=P22,…,Hi×(i-1)=Pi-12, (i=1,2,…,k)。

　　其中

　　Hi×(i-1)=Pi-12=λ2(E,0)(k-(i-1))×(k+1-(i-1))

　　当i=k时，即

　　Hk×(k-1)=λ2(1,0)

　　若记

　　H11=P03(-λ2)=

　　-λ0λ0

　　-(λ0+λ1)λ0

　　-(λ0+λ1)λ0

　　

　　-(λ0+λ1)λ0

　　-λ1(k-0)×(k-0)(-λ2)

　　则

　　H22=P13(-λ2),H33=P23(-λ2),…,Hii=Pi-13(-λ2),(i=1,2,…,k-1)

　　其中

　　Hii=Pi-13(-λ2)=

　　-λ0λ0

　　-(λ0+λ1)λ0

　　-(λ0+λ1)λ0

　　

　　-(λ0+λ1)λ0

　　-λ1(k-(i-1))×(k-(i-1))(-λ2)

　　当i=k-1时，即

　　H(k-1)×(k-1)=Pk-23(-λ2)=-λ0λ0

　　0λ1(-λ2)

　　而 Hkk=-λ2

　　3 平稳队长分布及其算法

　　定理2 设Y=(Y0，Y1，Y2，… ，Yk ，Yi∈Rk2+3k2,是两级串联开排队系统的状态稳态概率解，Yi=Y0Ri, 1≤i≤k,而Y0是由下列线性非齐次方程组

　　UT1

　　UT2

　　VT=0

　　(k2+3k2)×1

　　1 确定。其中

　　U1=H00+RH10

　　U2=Ri-1H(i-1)i+R1Hii+Ri+1H(i+1)i,(1≤i≤k-1)

　　V=e0+ki=1Rie1 ，(e0,e1 分别是与Y0,Y1 维数相同的全1列向量)

　　证明：由平稳条件知

　　YQ2=0,Ye=1

　　即满足下列的非齐次线性方程组：

　　Y0H00+Y1H10=0 (1)

　　Y0H01+Y1H11+Y2H21=0 (2)

　　Yi-1H(i-1)i+YiHii+Yi+1H(i+1)i=0,(2≤i≤k-1) (3)

　　Yk-1H(k-1)k+YkHkk=0(4)

　　且

　　Y0e0+ki=1Yie1=1 (5)

　　由(4)式得

　　Yk=-Yk-1Hk-1kHkk-1=Yk-10

　　λ1λ2

　　令 R=0

　　λ1λ2 ，即 Yk=Yk-1R(6)

　　把(6)式代入到(1)、(2)、(3)、(5)得

　　Y0(H00+RH10)=0 (7)

　　Y0(H01+RH11+R2H21)=0 (8)

　　Y0(Ri-1H(i-1)i+RiHii+Ri+1H(i+1)i=0,(2≤i≤k-1) (9)

　　Y0(e0+ki=1Rie1)=1 (10)

　　由(8)、(9)式得

　　Y0(Ri-1H(i-1)i+RiHii+Ri+1H(i+1)i)=0,(1≤i≤k-1) (11)

　　由(7)、(10)、(11) 式可得，

　　令

　　U1=H00+RH10

　　U2=Ri-1H(i-1)i+RiHii+Ri+1H(i+1)i,(1≤i≤k-1)

　　V=e0+ki=1Rie1

　　定理得证。

　　系统状态的稳态概率解，给出了系统稳态时的状态联合分布，由联合分布与边际分布之间的关系，可得以下有用的推论：

　　推论1 两级串联开排队网络系统两级队长的稳态概率联合分布为：

　　P∩2i=1{ Li=li }ξ∈ELYξ, li=0,1,…,k (i=1,2)

　　其中：EL={ (l2,l1),li=0,1,…,k(i=1,2) }

　　推论2 该排队系统的第一级队长L(t) 分布为：P(L(t)=l)=Y0Rle(k+1)(k+2)2 (其中，e(k+1)(k+2)2 为与Rl 维数相同的全1列向量)

　　推论3 该排队系统的第一级平均队长为： E(L)=X0R(I-R)-2 e(k+1)(k+2)2

　　4 忙期长度的分布

　　定义：两级串联开排队网络系统忙期是指:从第一个顾客进入第一级服务台，忙期开始，直到此后各级队长首次全部为零，即各级服务台顾客数为零，忙期结束。

　　定理：两级串联开排队网络系统忙期长度的分布是PH分布，它有(MN-1)阶表示(ηN,TN) ,其中ηN=(1,01×MN-2), TN是由MN 阶方阵Q2 去掉第一行和第一列上所有的元素而得到MN-1阶的方阵，其中MN=(k+1)(k+2)2 。

　　证明：将EN 中各级队长全为零的状态作为吸收态，而各级队长全为零，就是EN中的第一个状态，由PH 分布的定义和生成即可得证。

　　5 结束语

　　利用排队论对医院门诊、诊室的排队系统的结构和行为进行科学和系统的研究，结合现代先进的数学软件，处理分析数据，可以为更合理的安排门诊医生的数量，优化医院人员配置，提高医务人员工作效率以及医院的满意度提供参考价值。

【参考文献】
  　　1 周家良，贾波.有阻塞的多级串联排队分析. 系统科学与数学,1998，18(1):96～100.

　　2 徐光辉，袁学明.有限容量两极串联排队系统的平稳性态.系统科学与数学，1992，12(4)：317～325.

　　3 贾波，周家良.PH型N级串联反馈开排队网络系统分析.运筹学杂志，1996，15(1):28～36.

　　4 周家良，贾波. 具有N个有限容量服务节点的Jackson排队网络. 西安交通大学学报,1998,32(6).

　　5 聂盼红，刘立维.串联开排队网络系统河北理工大学学报，2007，11(4)：126～128.

　　6 孙荣恒，李建平.排队论基础.科学出版社，北京，2002.

　　7 田乃硕.休假随机服务系统.北京大学出版社，北京，2001.

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