高职《医用高等数学》分部积分法教学点滴

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【摘要】  通过对 5个有代表性的实例的分析，阐明了适用于分部积分法的若干种常见题型的简明求解方法：只需按先后顺序选取对数函数、反三角函数、多项式函数(含幂函数)、任意函数等四类函数之一为u，同时保证v容易求得，从而达到利用分部积分公式简明准确求解问题的目的。

【关键词】  分部积分法; u(x)的选取; dv 的选取

　在现行大多数高职《医用高等数学》教材中，讲授分部积分法求不定积分时，往往都是先给出分部积分公式：设u=u(x),v=v(x) 具有连续的导数，则∫udv=uv-∫vdv ，然后就是各种不同类型的例题，即使一些较高水平的辅导教材也只是简单提示应用此公式的关键是：如何选取u和dv ，选取的原则：积分容易者选为dv ，求导容易者选为u;在二者不可兼得的情况下，首先要保证的是前者[1]。然后仍然是若干种不同类型的例题，其中u 及dv 的选取又各不相同[2,3]，而这些庞杂的不同类型的例题中，如何正确选取u 及dv ，极不容易区分，又难以把握，往往由此引起混淆乃至于学生束手无策，导致糟糕的教学效果。笔者在多年的教学实践中，针对高职《医用高等数学》教材的把握，总结出掌握分部积分公式的关键是：首先选取u，然后保证u=∫dv 容易求得。具体实施步骤是：按先后顺序选取对数函数、反三角函数、多项式函数(含幂函数)、任意函数等四类函数之一为u;然后保证v=∫dv 容易求得。此种解题思路简洁明了，避免了针对各种庞杂混乱题型的区分，有利于简明准确的求解问题，学生只需按先后顺序记住四类函数即可应用分部积分公式求解相应问题，大大减轻了学生的学习负担。具体阐述如下：

　　1 实例分析

　　例1 ∫xex dx此题中有两类不同的函数：幂函数x和指数函数lnx 。其中任何一类函数的积分及求导都很容易，若盲目选取ex为u，则∫xexdx=∫exdx22=ex·x22-∫x22 ex dx ，此时完全违背了分部积分公式的指导思想：将不容易求解的不定积分∫udv 转化为容易求解的不定积分∫vdu 。在此题中，不定积分∫x22exdx比不定积分∫x·exdx 更难求解，导致原题无法求解。正确而又简明的解题思路是：按先后顺序选取对数函数、反三角函数、多项式函数(含幂函数)、任意函数中的幂函数x 为u，同时保证容易求得v=∫exdx=ex ，从而顺畅的求解此题。即：∫xexdx=∫xdex=xex-∫exdx=xex-ex+c例2 ∫xln xdx此题中也出现了例1中的幂函数x，另一函数为对数函数lnx，但此题如仿例1选幂函数x为u，则　　v=∫lnx dx=xlnx-∫x·1xdx=xlnx-x 。那么求解过程如下：∫xlnxdx=∫xd(xlnx-x)=x(xlnx-x)-∫(xlnx-x)dx=x2lnx-x2-∫xlnxdx+12x2+c=x2lnx-12x2-∫xlnxdx+c移项后有： ∫xlnxdx=12·lnx-14x2+c此解题过程虽然也能求解出最后的正确结果，但解题过程成冗长，况且还遇到了较复杂的问题，即lnxdx=xlnx-x 的求解，而v 的求解过程在学习分部积分公式的初期学生往往还很不容易掌握。上述∫xlnxdx 的求解过程可以作为后续学习中的思考题让学生完成。而例2正确而又简洁的求解过程为：按先后顺序选取四类函数之一的对数函数lnx 为u，同时v=∫xdx=x22也容易求得。则求解过程简洁而又顺畅。即：∫lnx dx=∫lnxdx22=lnx·x22-∫x2x·1xdx=x22·lnx-12∫xdx=12x2lnx-14x2+c例3 ∫xarctanx1+x2dx此题中出现了三类函数，幂函数x ，反三角函数arctanx ，无理分式函数11+x2 ，学生往往对v=∫dv 的求解及u 的选取感到很茫然，几乎无从下手，很难正确求解此题。简洁而又明晰的求解过程是：按先后顺序选取四类函数之一的反三角函数arctanx 为u，同时保证v=∫x1+x2dx=1+x2也容易求得，则解题过程依旧顺畅。即：∫xarctanx1+x2dx=∫arctanxd1+x2=arctanx·1+x2-∫1+x2·11+x2dx=1+x2·arctanx-∫11+x2dx其中不定积分∫11+x2dx 可用第二类换元法求解：令x=tant ，则 dx=sec2tdx，∫11+x2dx=∫1sect·sec2tdt=∫sectdt=ln|sect+tant|+c=ln|1+x2+x|+c于是∫xarctanx1+x2dx=1+x2·arctanx-ln|1+x2+x|+c例4 ∫x3ln2xdx　　此题若盲目的选取u=x3 ，则首先v=∫ln2xdx 的求解是个较复杂的问题。v=xln2x-∫x·2lnx·1xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2(xlnx-x)=x(ln2x-2lnx+2)同时原题的求解过程更为困难。∫x3ln2xdx=∫x3d[x(ln2x-2lnx+2)]=x3[x(ln2x-2lnx+2)]-∫x(ln2x-2lnx+2)dx3=x4(ln2x-2lnx+2)-3∫x3(ln2x-2lnx+2)dx此时求解不定积分应再用分部积分公式，但v=∫dv 的求解更为复杂，学生往往已经没有信心继续求解了。简明的求解过程为：按先后顺序选取四类函数之一的对数函数ln2x 为u ，而v=∫x3dx=14x4 又很容易求得。则解题过程较为简洁顺畅：∫x3ln2xdx=∫ln2xdx44=ln2x·x44-∫x44·2lnx·1xdx=x44ln2x-12∫x3lnxdx=x44ln2x-12∫lnxdx44=x44ln2x-12(lnx·x44-∫x44·1xdx)=x44ln2x-12(x44lnx-x416)+c=x44ln2x-x48(lnx-14)+c例5 ∫e3xcos2xdx被积函数为指数函数与三角函数的乘积。此时可选任意函数为u及dv 。方法一 选u=e3x，dv=cos2xdx，则 v=12sin2x　原式=12∫e3xd sin2x=12(e3x sin2x-∫ sin2xde3x)=12e3xsin2x-32∫e3xsin2xdx=12e3xsin2x+34∫e3xd cos2x=12e3xsin2x+34(e3xcos2x-∫cos2xde3x)=12e3xsin2x+34e3xcos2x-94∫e3xcos2xdx　移项后，有∫e3xcos2xdx=113e3x(2 sin2x+3cos2x)+c方法二 选u=cos2x,dv=e3x, 则 v=13e3x原式=13∫cos2xde3x=13(cos2xe3x-∫e3xd cos2x)　3e3xcos2x+23∫e3xsin2xdx=13e3xcos2x+29∫sin2xde3x=13e3xcos2x+29(sin2xe3x-∫e3xd sin2x)=13e3xcos2x+29e3xsin2x-　49∫e3xcos2xdx移项后，有 ∫3xcos2xdx=113e3x(3cos2x+2sin2x)+c　2 结语

　　分部积分公式作为求解不定积分问题的一种重要方法，尤其在学习分部积分公式的初期，高职层次的学生对公式中u及dv 的选取感觉很不好掌握，不同类型的问题选不同的函数为u及dv ，同一类函数在此问题中选作u ，而在另一问题中又被选为dv ，因而对公式的应用产生困惑、混乱和畏惧，影响学习效果。本研究阐述了只需按先后顺序选取对数函数、反三角函数、多项式函数(含幂函数)、任意函数等四类函数之一为u，同时保证v=∫dv 容易求得即可简洁顺畅的应用分部积分公式求解不定积分。此解题思路更容易被学生理解和掌握，从而把困难的问题转化为容易的问题加以解决，对学生的学习有很大帮助。另外，随着学习的深入和问题的综合程度的提高，还有其他类型的需综合应用多种方法(包括分部积分法)求解的问题，但仍需在对分部积分公式熟练掌握的基础上进一步灵活变通。

【参考文献】
  　1陈文灯.高等数学辅导.世界图书出版公司，2004，156;169～173.

　　2 曾庆兵.浅谈分部积分法中u和dv的选择. 山东教育学院学报，2004，4：75～76.

　　3 邓四清，李超. 不要把问题解决教学课上成问题解答介绍课.大学数学，2008，24(5)：16～18.