钢管混凝土拱桥稳定性的计算理论简述

黄豆豆

　　论文关键词：钢管混凝土拱桥　稳定性　非线性　　

　　论文摘要：钢管混凝土拱桥作为一种承受压力的空间曲杆体系，不可避免的涉及到稳定问题。随着钢管混凝土跨径不断的增大，对于其稳定性计算必须考虑非线性的影响，本文主要是介绍当拱桥稳定性计算理论及非线性分析理论。

　　随着钢管混凝土组合材料研究不断深入，施工工艺的大幅度改进，钢管混凝土拱桥在全世界范围内，特别是在我国得到了广泛的应用。据不完全统计，自从1990年我国第一座钢管混凝土拱桥建成以来到目前为止，我国已建或在建钢管混凝土拱桥有200多座。钢管混凝土拱桥之所以发展如此迅速，主要具有如下特点：（1）施工方便，节省费用；（2）有较成熟的施工技术作支撑；（3）跨越能力大，适应能力强；（4）造型优美，体现了民族特色；（5）大直径钢管卷制工业化，有力地促进了我国钢管混凝土拱桥的发展。

　　随着钢管混凝土拱桥的跨径的增大，刚度越来越柔，作为以受压为主的结构，稳定成为制约其发展的关键因素之一。不少学者根据不同的拱桥形式在不同的参数下，提出了不同的假设，推导出了很多简化的稳定公式。这些稳定公式将为有限元发展提供了理论基础。本文主要是对拱桥稳定计算理论进行简单的阐述。

　　1 稳定计算理论

　　1.1 概述

　　稳定问题是桥梁工程常常遇到的问题，与强度问题同等重要。但是，结构的稳定问题不问于强度问题，结构的失稳与材料的强度没有密切的关系。结构失稳是指结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始伤失，稍有挠动，结构变形迅速增大，从而使结构失去正常工作能力的现象。在桥梁工程中，总是要求其保持稳定平衡，也即沿各个方向都是稳定的。

　　在工程结构中，构件、部件及整个结构体系都不允许发生失稳。屈曲不仅使工程结构发生过大的变形，而且往往导致结构的破坏。现代工程结构中，不断利用高强轻质材料，在大跨度和高层结构中，稳定向题显得尤为突出。

　　根据上程结构失稳时平衡状态的变化特征，存在若干类稳定问题。土建工程结构中，主要是下列两类：

　　（1） 第一类稳定问题（分枝点失稳）：以小位移理论为基础。

　　（2） 第二类稳定问题（极值点失稳）：以大位移非线性理论的基础。

　　实际工程中的稳定问题一般都表现为第二类问题，但是，由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义。

　　研究压杆屈曲稳定问题常用的方法有静力平衡法((Eular方法)、能量法(Timosheko方法)、缺陷法和振动法。

　　静力平衡法：是从平衡状态来研究压杆屈曲特征的，即研究荷载达到多大时，弹性系统可以发生失稳的平衡状态，其实质是求弹性系统的平衡路径(曲线)的分支点所对应的荷载值(临界荷载)。

　　能量法：表示当弹性系统的势能为正定时，平衡是稳定的；当势能为不正定时，平衡是不稳定的；当势能为0时，平衡是中性的，即临界状态。

　　缺陷法：认为完善而无缺陷的力学中心受压直杆是不存在的。由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形，其值要视其缺陷程度而定。在一般条件下，缺陷总是很小的，弯曲变形不显著，只是当荷载接近完善系统的临界值时，变形才迅速增大，由此确定其失稳条件。

　　振动法从动力学的观点来研究压杆稳定问题，当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动后，必将产生自由振动，如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的。

　　以上四种方法对于欧拉压杆而言，得到的临界荷载是相同的。如果仔细研究一下可以发现它们的结论并不完全一致，表现在以下几个方面:

　　静力平衡法的结论只能指出，当P=P1、 P2、…、Pn时，压杆可能发生屈曲现象，至于哪种最有可能，并无抉择的条件。同时在P≠P1,  P2,…、Pn时，屈曲的变形形式根本不能平衡，因此无法回答极限系数的平衡是不稳定的问题。

　　缺陷法的结论也只能指出当P=P1、P2 ,…、Pn时，杆件将发生无限变形，所以是不稳定的。但对于P在P1、P2…、Pn各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释。

　　能量法和振动法都指出，P>P1之后不论P值有多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的。这个结论和事实完全一致。

　　由于钢管混凝土系杆拱桥的复杂性，不可能单依靠上述方法来解决稳定问题，日前大量使用的是稳定问题的近似求解方法。归结起来有两种类型:一类是从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解，如逐次渐进法;另一种是基于能量变分原理的近似法，如Ritz法。有限元方法可以看作为Ritz法的特殊形式。当今非线性力学把有限元与计算机结合，使得可以将稳定问题当作非线性力学的特殊问题，用计算机程序实现求解，取得了很大的成功。

　　1.2 第一类稳定有限元分析

　　根据有限元平衡方程可以表达结构失稳的物理现象。在T.L列式下，结构增量形式的平衡方程为：

　　                              (1-1)

　　0[K]0——单元刚度矩阵；

　　0[K]σ——单元初应力刚度矩阵;

　　0[K]L——单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵;

　　0[K]T——单元切线刚度矩阵。

　　U.L列式下，结构的平衡方程为:

　　                                               (1-2)

　　发生第一类稳定前，结构处于初始构形线性平衡状态，因此式(1-1)中大位移矩阵。0[K]T为零。在U.L列式中，不再考虑每个荷载增量步引起的构形变化，所以，不论T.L还是U.L列式，结构的平衡方程的表达形式是统一的:

　　                                               (1-3)

　　在结构处于临界状态下，即使{AR}→0，{△u}也有非零解，按线性代数理论，必有:

  　                                                         (1-4)

　　在小变形情况下，[K]σ与应力水平成正比。由于假定发生第一类失稳前结构是线性的，多数情况下应力与外荷载也为线性关系，因此，若某种参考荷载{   }对应的几何刚度矩阵为[ ]σ，临界荷载为{P}cr=λ{  }，那么在临界荷载作用下结构的几何刚度矩阵为:

　　                                                     （1-5）

　　于是（1-4）为

　　                                       　（1-6）

　式(1-6)就是第一类线弹性稳定问题的控制方程。稳定问题转化为求方程的最小特征值问题。

　　一般来说，结构的问题是相对于某种特定荷载而言的。在桥梁结构中，结构内力一般由施工过程确定的恒载内力(这部分必须按施工过程逐阶段计算)和后期荷载(如二期恒载·活载·风载)引起的内力两部分组成。因此，[K]σ也可以分成一期恒载的几何刚度矩阵 [Kl]σ和后期恒载的几何刚度矩阵[K2]σ，两部分。当计算是一期恒载稳定问题时，[Kl]σ=0。[K]σ可直接用恒载来计算，这样通过式(3-6)算出的 λ就是一期恒载的稳定安全系数;当计算的是后期荷载的稳定问题时，恒载[K]σ可近似为一常量，式((1 - 6)改写成:

　　                                                （1-7）

　　形成和求解式(1-7)的步骤可简单归结为:

　　1)按施工过程，计算结构恒载内力和恒载几何刚度矩阵[Kl]σ。;

　　2)用后期荷载对结构进行静力分析，求出结构初应力(内力);

　　3)形成结构几何刚度矩阵[K2]σ和式(1-7)

　　4)计算式(1-7)的最小特征值问题。

　　这样，求得的最小特征值兄就是后期荷载的安全系数，相应的特征向量就是失稳模态。

　　1.2 第二类稳定有限元分析

    第二类稳定是指结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的应力使结构切线刚度矩阵趋于奇异时，结构承载能力就达到了极限，稳定性平衡状态开始丧失，稍有挠动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象。

    从力学分析角度看，分析结构的第二类稳定性，就是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性的结构平衡方程，寻找结构极限荷载的过程。

    全过程分析法是用于结构极限承载力分析的一种计算方法，通过逐级增加

　　工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏。

　　2拱桥的平面屈曲

　　2. 1拱桥平面屈曲的基本概念

拱顶的竖直变位v及水平变位u与外荷载q的关系曲线

　　当拱所承担的荷载达到某一临界值时，在竖向平面内，拱轴线偏离初始纯压或主要为受压的对称变形状态，向反对称的弯压平面挠曲转化，称为拱的面内屈曲。拱的面内屈曲有两种不同的形式，第一种形式是在屈曲临界荷载前后，拱的挠曲线发生急剧变化如图1所示，可看作是具有分支点问题的形式，桥梁结构中使用的拱，在体系和构造上多是对称的。当荷载对称的满布于桥上时，如果拱轴线和压力线是吻合的，则在失稳前的平衡状态只有压缩而没有弯曲变形。当荷载逐渐增加至临界值时，平衡就出现由弯曲变形的分支，拱开始发生屈曲。

　　第二种屈曲形式:在非对称荷载作用下，拱在发生竖向位移的同时也产生了水平变位。随着荷载的增加，二个方向的变位在变形形式没有急剧变化的情况下继续增加。当荷载达到了极大值，即临界荷载之后，变位将迅速增加，这类失稳为极值点失稳。求解这类稳定问题的极限荷载，需要采用非线性分析方法。

　　在实际结构中，当满布对称荷载时，拱轴线和压力线也不一定完全吻合，此时拱一开始加载就可能出现带有对称弯曲变形的平衡状态。然而当荷载达到一定的临界值时，拱仍然会发生分支点失稳现象。理论研究表明:初始的对称弯曲变形对拱的反对称屈曲的临界荷载的影响很小。因此，研究拱的平面屈曲时，我们可以近似的假设拱轴线与压力线是吻合的，采用分支点屈曲理论。

　　2. 2拱桥的平面屈曲 　　2. 2.1圆弧拱及抛物线拱的屈曲

　　(1)圆弧拱的屈曲荷载

　　圆弧拱轴线线形简单(如图2)，全拱曲率相同，施工方便。其拱轴线方程：



图2 受径向均布荷载的圆弧拱

　　由平衡条件和几何关系可以推导出屈曲微分方程：

　　                                        （2-1）

　　解此微分方程，并代入边界，ψ=0，υ=0；ψ=2α，υ=0得两铰拱临界应力

    把拱看成当量的压杆，引入有效屈曲长度的概念，转化为中心压杆的欧拉公式的标准形式

　　                     （2-2）

　　归结成求拱的计算长度的问题，也就是涉及到边界条件。

　　经过理论计算，加之经验和概率论数理统计，就得到了桥涵设计规范4.3.7给出的拱圈纵向稳定时的计算长度取值。

　　为了实用的方便也可转化为矢跨比和跨度作为影响因子

　　                                   　　     （2-3）

　　                   （2-4）

　　同理可得到无铰拱和三铰拱的临界荷载。

　　将结果K1、K1’按矢跨比做成表格，这就得到了拱桥设计手册上的表值。

　　通过理论的分析可以看出拱桥的稳定性随铰数的增加而降低，无铰拱稳定性好于两铰拱;再则，各种拱的临界荷载都在矢跨比0. 25～0. 3左右达到各自的最大值，因为在EIx和L相同的情况下，若矢跨比很小，则拱弧长虽短，但均布荷载所产生的压力大，反之，若矢跨比很大，则压力虽小，但弧长较长。

　　(2)抛物线拱的屈曲荷载

　　在均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。故对于恒载分布比较接近均匀的拱桥，可以采用二次抛物线作为拱轴线。其轴线方程为：

　　                                            （2-5）

　　在均布竖向铅垂荷载作用下，虽然拱只承受轴向压力而没有弯矩，但是压力沿拱轴线是变化的，并且拱的曲率也是变化的，因而其平衡微分方程是变系数的，直接求解比较困难，一般只能用数值法进行计算。同圆弧拱一样，抛物线拱的临界荷载可按下式计算:

　　                                           （2-6）

　　式中K1，为稳定系数，它的值可以查表得到。

　　2.2.2拱桥的平面压屈

　　大跨度拱桥的拱上结构常布置连续的加劲梁。这样当拱屈曲时，加劲梁将随同弯曲，因而增加拱的稳定性。要获得这类结构的临界荷载解析解是相当困难的，一般只能求得其数值解。

　　如果拱桥的立柱刚度远比拱圈和梁的刚度小，可以假定各立柱上下端均系铰结，以简化问题。通过数值计算，可把数值这种简化结构的临界荷载近似地写成:

　　                  （2-7）

　　式中:K1一只有拱时的临界荷载系数;

　　　　Elb一加劲梁的抗弯刚度;

　　　　EIa一拱平面抗弯刚度。

　　对于上承式柔拱刚梁组合体系，临界荷载可仿上式写成:

　　                        （2-8）

　　在这种体系中，除按上式验算总体平面屈曲外，尚须同时验算拱在立柱间的局部弯曲。